随机过程与滤子 — 金融随机分析

想象一下反复抛硬币的过程。每抛一次，你都会对正在发生的事情多了解一点。本章将这一简单想法转化为精确的数学：随机过程 (stochastic processes) 模拟随机性如何随时间展开，而滤流 (filtrations) 则追踪每个时刻你所掌握的信息。这些概念是迈向鞅 (martingales)、布朗运动 (Brownian motion) 和随机微积分 (stochastic calculus) 的第一步。

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随机过程 (stochastic process) 其实就是按时间排序的一组随机变量。棘手之处在于：在任一时刻，观察者究竟知道些什么？滤子 (filtration) 给出了答案——它描述的是一个不断扩大的事件族，随着时间的推移，这些事件逐渐变得可测。将过程与滤子结合起来，就能检验该过程是否顺应时间的流向：也就是说，基于当前已知信息，未来仍旧是不确定的。这种性质称为适应性 (adaptedness)，它是所有后续动态模型的隐蔽基石。

随机变量序列：什么是随机过程？#

你已经知道，随机变量是一个依赖于机遇的数。而离散时间随机过程 (discrete-time stochastic process) 不过是一列按时间顺序排列的随机变量。想象一部电影：第0帧展示一个随机结果，第1帧展示另一个，第2帧又展示另一个，以此类推。

更正式地说，我们研究一个概率空间。是所有可能结果的集合。是一个 σ-代数 (sigma-algebra)——它是的一些子集构成的集合，告诉我们哪些事件是可以度量的。给每个事件赋予一个概率。一个离散时间随机过程是一个族

其中每个都是一个随机变量：一个函数且是 -可测的。（粗略地说，能使落入某个区间的那些结果构成的集合是中的一个事件。）指标代表时间，通常。我们常简记为。

离散时间随机过程： 一组随机变量，它们都定义在同一个概率空间上，并以非负整数时刻作为索引。

你也可以将这个过程看作一个双变量函数：。固定结果，你会看到一条样本路径 (sample path)（实际展开的数字序列）；固定时间，你会看到该时刻的随机变量。

示例1 – 重复公平抛硬币。 设是所有由正面和反面组成的不定序列的集合。定义

You can't use 'macro parameter character #' in math mode\begin{cases} 1 & \text{if the }(n+1)\text{th toss is H}, \\ 0 & \text{if it is T}. \end{cases}$$ $(X_n)$ 是一个随机过程。$X_0$ 是第一次抛掷的结果。 **示例2 – 对称随机游走 (symmetric random walk)。** 从 $0$ 开始。每一步，以概率 $1/2$ 加上 $+1$，以概率 $1/2$ 加上 $-1$，且各步独立。令 $S_0 = 0$ 和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} Z_k$，其中 $Z_k$ 是独立步。$(S_n)_{n \ge 0}$ 是一个随机过程。它在时刻 $n$ 的值只依赖于前 $n$ 步——而不依赖于任何未来步。 我们总是假设所有随机变量都生活在同一个概率空间上，即使我们不每次都明确说明。这个共同的空间让我们能够提出关于这些变量在不同时间如何相互关联的问题。 > 📝 **本节总结：** 离散时间随机过程是定义在同一个概率空间上、按时间顺序排列的一串随机变量。它捕捉了随机性一步步展开的过程。 ## 随时间推移的信息：滤子的概念 观察一个过程就像读日记——你只知道写到当前这一页的内容。**滤子 (filtration)** 精确地表达了这种信息不断增长的想法。 回忆一下，一个 **sigma-代数 (sigma-algebra)** $\mathcal{F}$ 告诉你哪些事件是可测的——即你能用概率回答哪些问题。随着时间的推移，你了解得更多，因此你能回答的问题集也在增长。 **滤子 (filtration)** 是一个递增的 sigma-代数族 $$\mathcal{F}_0 \subseteq \mathcal{F}_1 \subseteq \mathcal{F}_2 \subseteq \cdots \subseteq \mathcal{F}$$ 都在原始概率空间的 sigma-代数 $\mathcal{F}$ 内部。我们记作 $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$，并称其为离散时间上的滤子。 > **滤子：** 一个嵌套的 sigma-代数序列 $\mathcal{F}_0 \subseteq \mathcal{F}_1 \subseteq \mathcal{F}_2 \subseteq \cdots$，其中每个 $\mathcal{F}_n$ 表示在时刻 $n$ 已知的信息。 直观地说，一个事件 $A$ 属于 $\mathcal{F}_n$，如果在时刻 $n$ 之前，你就能确定真实结果 $\omega$ 是否在 $A$ 中。随着 $n$ 增长，$\mathcal{F}_n$ 变得更精细——你能回答更多问题。 **示例——再次抛硬币。** 假设你观察一枚公平硬币的前 $n$ 次抛掷。在任何抛掷之前 ($n = 0$)，你一无所知：你能识别的事件只有空集 $\emptyset$ 和整个空间 $\Omega$。所以 $\mathcal{F}_0 = \{\emptyset, \Omega\}$ (**平凡 sigma-代数 (trivial sigma-algebra)**)。第一次抛掷后，你知道结果是 H 还是 T，因此 $\mathcal{F}_1$ 包含所有仅依赖于第一次抛掷的事件——例如“第一次抛掷是 H”。两次抛掷后，$\mathcal{F}_2$ 包含依赖于前两次抛掷的事件，例如“前两次抛掷都是 H”，以此类推。显然 $\mathcal{F}_0 \subseteq \mathcal{F}_1 \subseteq \mathcal{F}_2 \subseteq \cdots$，这就构成了一个滤子。 一般来说，滤子可以是任何 sigma-代数的递增族；它不必来自某个特定过程。但在实践中，我们几乎总是从我们正在研究的过程中构建它。 > 📝 **本节回顾：** 滤子是一个扩大的 sigma-代数序列，它捕捉了随时间推移可测信息的增长。每个 $\mathcal{F}_n$ 告诉你哪些事件在步骤 $n$ 时你已经能够确定地检查。 ## 由过程生成的滤波 构建滤波最自然的方式是让过程本身定义什么是已知的。这被称为过程的**自然滤波（natural filtration）**。 给定一个随机过程$X = (X_n)_{n\ge 0}$，定义$$\mathcal{F}_n^X = \sigma(X_0, X_1, \dots, X_n),$$为使得所有随机变量$X_0, X_1, \dots, X_n$可测的最小σ-代数。用通俗的话说，$\mathcal{F}_n^X$恰好包含那些可以用$X_0$到$X_n$描述的事件——例如，“$X_0 \le 2$且$X_1 > 0$”或“$X_0,\dots,X_n$的最大值超过$5$”。 > **自然滤波（或由$X$生成的滤波）：** 族$(\mathcal{F}_n^X)$，其中$\mathcal{F}_n^X = \sigma(X_0, X_1, \dots, X_n)$是使得所有$X_0,\dots,X_n$可测的最小σ-代数。它精确地代表了通过观察$X$直到时间$n$所获得的信息。 由于$X_{n+1}$不包含在$\mathcal{F}_n^X$中，从时间$n$的视角看，未来的值仍然是真正随机的。这一点很关键：自然滤波抓住了“在决定今天时不偷看明天的价格”这一思想。 **示例——随机游走的自然滤波。** 回顾对称随机游走$S_n = S_{n-1} + Z_n$，其中$S_0=0$。在时间$n$，你已经观察到$S_0, S_1, \dots, S_n$，这等同于知道前$n$步$Z_1, \dots, Z_n$。因此$\mathcal{F}_n^S$恰好是$\sigma(Z_1, \dots, Z_n)$。事件$\{S_{n+1} = k\}$不在$\mathcal{F}_n^S$中，因为它依赖于未知的$Z_{n+1}$。 当过程明确时，我们通常省略上标，直接写成$\mathcal{F}_n$。自然滤波是使$X$**适应（adapted）**的最小滤波——这是我们下一个主题。 > 📝 **本节小结：** 由过程生成的滤波是携带从过程本身到每个时间$n$全部信息的最小滤波。它确保未来值不在当前信息集中。 ## 适应性：与信息流同步的过程 一个过程和一个滤子本应协同工作。实现这一点的性质就是**适应性（adaptedness）**。 如果一个随机过程 $X = (X_n)_{n\ge 0}$ 对于每个 $n$，随机变量 $X_n$ 都是 $\mathcal{F}_n$-**可测（measurable）**，则称该过程**适应（adapted）**于一个**滤子（filtration）** $(\mathcal{F}_n)_{n\ge 0}$。 > **适应过程：** 过程 $(X_n)$ 适应于滤子 $(\mathcal{F}_n)$，如果在每个时刻 $n$，值 $X_n$ 完全由 $\mathcal{F}_n$ 中的信息决定。用数学语言来说，$X_n$ 是 $\mathcal{F}_n$-可测的。 $\mathcal{F}_n$-可测是什么意思？它意味着任何像 $\{X_n \in B\}$ 这样的事件（比如 $B$ 是一个区间）都属于 $\mathcal{F}_n$。因此到时刻 $n$，你完全可以判断 $X_n$ 是否落在 $B$ 中，因为该事件已经是你的知识 $\mathcal{F}_n$ 的一部分。如果 $X_n$ 不是 $\mathcal{F}_n$-可测的，你就需要未来的信息才能知道它的值——这违背了实时、因果展开的理念。 每个过程自动适应于其自身的**自然滤子（natural filtration）**：根据构造，$\mathcal{F}_n^X$ 包含了 $X_0,\dots,X_n$ 所能生成的所有事件，因此 $X_n$ 显然是 $\mathcal{F}_n^X$-可测的。所以自然滤子是给定过程的默认选择。但有时我们会与更大的滤子打交道——例如，一个也包含外部随机性或另一个过程的滤子——这时我们要求 $X$ 适应于那个更大的滤子，意味着 $X$ 不能提前使用来自外部源的任何信息。 **示例 – 适应与非适应。** 设 $(\mathcal{F}_n)$ 是抛硬币过程 $X_0, X_1, X_2, \dots$ 的自然滤子。定义一个新过程 $Y_n = X_{n+1}$。$Y$ 是否适应于 $(\mathcal{F}_n)$？在时刻 $n$，$Y_n$ 等于尚未知道的第 $(n+1)$ 次抛掷结果。这不是 $\mathcal{F}_n$-可测的——它依赖于下一次抛掷，而相对于 $n$ 那属于未来。因此 $Y$ **不**适应于 $(\mathcal{F}_n)$。在金融中，这就像使用明天的股价来决定今天交易的交易策略——在公平市场中是不可能的。 适应性看似一个微小的技术细节，但它几乎是后续所有重要结果的守门人。一个过程要成为**鞅（martingale）**，它必须适应；**随机积分（stochastic integral）**要有意义，被积函数必须适应。简而言之，适应性确保了时间线得到遵循。 **想想一台监控建筑物的安全摄像头。**截至第 $n$ 小时的录像就是 $\mathcal{F}_n$。你对第 $n$ 小时正在发生的事情的描述 $X_n$ 必须只基于你已经拥有的录像——而不是将来会录下的内容。这就是适应性。 > 📝 **本节回顾：** 一个过程适应于一个滤子，如果在每一时刻，它的当前值只依赖于已经可用的信息——不能偷看未来。任何过程自动适应于其自身的自然滤子。 ## 总结 我们已经从静态概率迈出了第一步，进入了随机性随时间变化的动态世界。**随机过程 (stochastic process)** 是一组按时间顺序排列的随机变量。**域流 (filtration)** 追踪随着时间的流逝我们所知道的信息。由过程本身构建的**自然域流 (natural filtration)** 使该过程成为**适应过程 (adapted)**。适应意味着不能窥探未来——每个值只取决于过去和现在的信息。 | 关键概念 | 含义（通俗解释） | 为何重要 | |----------|------------------|----------| | **离散时间随机过程 (discrete-time stochastic process)** | 在同一概率空间上的随机变量序列 $X_0, X_1, X_2, \dots$，按时间步长索引。 | 它为任何在离散时间上随机演化的事物提供了数学模型——股票价格、队列长度、天气状态等。 | | **概率空间 (probability space)** $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ | 三元组，包含所有可能结果构成的集合 $\Omega$、可测事件构成的 σ-代数 $\mathcal{F}$，以及一个概率测度 $P$，该测度为每个事件赋予一个介于 $0$ 和 $1$ 之间的数。 | 它是所有随机变量和过程共享的舞台。 |

第2章：随机过程与滤流

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随机变量序列：什么是随机过程？#

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