第二章：隨機過程與濾波結構

想像你一次又一次地擲硬幣。每擲一次，你對過程的瞭解就多了一分。本章將把這個簡單的想法，轉化為精確的數學語言：隨機過程 (stochastic processes) 為隨機事件在時間中的展開建立了數學模型，而濾波 (filtration) 則追蹤你在每個時間點掌握了哪些資訊。這些概念是通往鞅 (martingale)、布朗運動 (Brownian motion) 與隨機微積分 (stochastic calculus) 的第一步。

整體概觀#

隨機過程 (stochastic process) 就是一系列按時間排序的隨機變數。關鍵在於：在任何時刻，觀察者實際上知道什麼？濾過 (filtration) 給出了答案——它是一個隨時間推移而不斷擴大、讓事件變得可測量的集合。過程和濾過結合起來，我們就能檢查該過程是否遵循時間的流向，也就是說，根據我們目前所知，其未來仍然是不確定的。這個稱為 適應性 (adaptedness) 的性質，為後續所有動態模型奠定了不起眼的基礎。

隨機變數序列：什麼是隨機過程？#

你已經知道**隨機變數 (random variable)**是一個依賴於機率的數字。**離散時間隨機過程 (discrete-time stochastic process)**不過是按照時間順序排列的隨機變數列表。想像一部電影：第 0 幀顯示一個隨機結果，第 1 幀顯示另一個，第 2 幀又是一個，以此類推。

更具體地說，我們在一個機率空間 上運作。 是所有可能結果的集合。 是一個西格瑪代數 (sigma-algebra)——它是 的子集集合，告訴我們哪些事件是可以測量的。 為每個事件賦予一個機率。一個離散時間隨機過程是一個族系

其中每個 是一個隨機變數：一個函數 ，且是 -可測的。（概略地說， 落入某區間的結果集合是 中的一個事件。）索引 代表時間，通常是 。我們通常簡寫為 。

離散時間隨機過程： 一系列隨機變數 ，全部定義在同一個機率空間上，並以非負整數時間步長為索引。

你也可以將此過程視為一個雙變數函數：。固定結果 可以看到一條樣本路徑 (sample path)（實際展開的數字），或者固定時間 可以看到該時刻的隨機變數。

範例 1 – 重複公平擲硬幣 令 為所有正面和反面的無限序列的集合。定義

是一個隨機過程。 是第一次擲硬幣。

範例 2 – 對稱隨機漫步 從 開始。每一步你以機率 加上 ，並以機率 加上 ，且獨立進行。令 和 ，其中 是獨立步。 是一個隨機過程。它在時間 的值取決於前 步——而不是任何未來步。

我們總是假設所有隨機變數都位於同一個機率空間上，即使我們沒有每次都明確說明。這個共享的空間讓我們能夠探討這些變數在不同時間點之間如何相互關聯。

📝 單元回顧： 離散時間隨機過程是同一個機率空間上按時間排序的一系列隨機變數。它捕捉了逐步展開的隨機性。

資訊隨時間演變：濾過的概念#

觀察一個過程就像在讀日記——你只知道目前翻到的那一頁寫了什麼。濾過（filtration） 把這種資訊逐漸增長的觀念精確化。

記住，一個 σ-代數（sigma-algebra） 告訴你哪些事件是可測量的——也就是你能用機率回答哪些問題。隨著時間過去，你知道得越多，你能回答的問題集合也就跟著擴大。

一個濾過是遞增的σ-代數族

全都包含在原機率空間的原始σ-代數 之內。我們將其記為 ，並稱之為離散時間濾過。

濾過：一個嵌套的σ-代數序列 ，其中每個 代表在時間 已知的資訊。

直觀來說，事件 屬於 若且唯若在時間 時，你能確定真實結果 是否落在 中。隨著 增大， 會變得越來越精細——你能回答更多問題。

範例——再談擲硬幣。 假設你觀察一個公正硬幣的前 次投擲。在尚未投擲之前（），你一無所知：你能辨識的事件只有空集合 和整個空間 。所以 （平凡σ-代數）。第一次投擲後，你知道結果是正面還是反面，因此 包含所有只相依於第一次投擲的事件——比如「第一次是正面」。第二次投擲後， 包含相依於前兩次投擲的事件，例如「前兩次都是正面」，以此類推。顯然有 ，形成一個濾過。

一般而言，濾過可以是任何遞增的σ-代數族；它不一定需要來自特定的過程。但實務上，我們幾乎總是從正在研究的過程來建構它。

📝 小節回顧： 濾過是一個不斷擴張的σ-代數序列，捕捉了隨時間前進時可測量資訊的增長。每個 告訴你在步驟 時已經可以確定檢查哪些事件。

過程生成的濾流#

建立濾流最自然的方式，就是讓過程本身來定義何謂已知。這稱為過程的自然濾流 (natural filtration)。

給定一個隨機過程 ，定義

為使所有隨機變數 皆可測的最小 σ-代數。用白話來說， 正好包含那些可以用 到 來描述的事件——例如「 且 」或「 的最大值超過 」。

自然濾流（或 生成的濾流）： 族 ，其中 是使所有 可測的最小 σ-代數。它精確代表你透過觀測 至時間 所獲得的資訊。

由於 並未包含在 中，從時間 的角度來看，未來數值仍然保持真正的隨機性。這是關鍵：自然濾流體現了「你今天做決策時不會偷看明天的價格」這個概念。

範例 – 隨機漫步的自然濾流。 回想對稱隨機漫步 且 。在時間 ，你已經觀察到 ，這等同於知道前 步 。因此 就是 。事件 不在 中，因為它取決於未知的 。

我們通常會省略上標，在過程明確時直接寫作 。自然濾流是使 成為適應 (adapted) 的最小濾流——這是我們接下來的主題。

📝 章節回顧： 過程生成的濾流是能夠從過程本身攜帶直到每個時間 的所有資訊的最小濾流。它將未來數值排除在當前資訊集之外。

適應性 (Adaptedness)：尊重資訊流動的過程#

一個過程 (process)和一個濾波 (filtration)本來就應該一起運作。而讓這件事成立的性質就是適應性 (Adaptedness)。

一個隨機過程 相對於濾波 是適應的 (adapted)，若對於每個 ，隨機變數 是 -可測的 (measurable)。

適應過程 (Adapted process)： 一個過程 適應於濾波 ，若在每個時間點 ，其值 完全由 中的資訊決定。用數學語言來說， 是 -可測的。

-可測是什麼意思？意思是，任何像 的事件（比方說 是一個區間）都屬於 。因此到了時間 ，你絕對可以判斷 是否落在 中，因為該事件已經是你知識 的一部分。如果 不是 -可測的，你就需要未來資訊才能知道它的值——這就破壞了即時、因果展開的概念。

每一個過程都自動適應於它自己的自然濾波 (natural filtration)：根據建構， 包含所有 能產生的事件，所以 顯然是 -可測的。因此自然濾波是給定過程的預設濾波。但有時我們會使用更大的濾波——例如，一個也包含外部隨機性或另一個過程的濾波——這時我們要求 適應於那個更大的濾波，也就是說 不得提前使用來自外部來源的任何資訊。

範例 – 適應 vs. 不適應。 令 為擲硬幣過程 的自然濾波。定義一個新的過程 。 是否適應於 ？在時間 ， 等於尚未知的第 st 次擲硬幣結果。那不是 -可測的——它依賴於下一次擲硬幣，相對於 是未來事件。因此 不 適應於 。在金融中，這就像一個交易策略用明天的股價來決定今天的交易——在公平市場上是不可能的。

適應性可能看起來只是個小技術細節，但它幾乎是所有後續重要結果的守門員。一個過程要成為鞅 (martingale)，它必須是適應的；要讓**隨機積分 (stochastic integral)有意義，其被積分過程 (integrand)**也必須是適應的。簡而言之，適應性確保時間線被尊重。

想像一台監視攝影機正在錄製一棟建築。 截至時間 的錄影畫面是 。你對時間 正在發生的事情的描述 必須僅基於你已有的畫面——而不是之後才會錄到的內容。這就是適應性。

📝 小節回顧： 一個過程適應於一個濾波，如果在每一時刻，它的當前值僅取決於已可取得的資訊——不能偷看未來。任何過程都自動適應於它自己的自然濾波。

總結#

我們已經從靜態機率邁出了一步，進入了隨機性隨時間變化的動態世界。隨機過程 (stochastic process) 是按時間排序的隨機變數 (random variable) 序列。濾波 (filtration) 記錄了隨著時間推移我們所知道的資訊。自然濾波 (natural filtration) 是由過程本身建構的，它使過程具有適應性 (adapted)。適應性 (Adaptedness) 意味著不能預知未來——每個值只取決於過去和現在的資訊。