Capítulo 1: Fundamentos de Probabilidad y Esperanza Condicional

La probabilidad es el lenguaje que empleamos para hablar de la incertidumbre. En este capítulo construiremos la gramática precisa de ese lenguaje — σ-álgebras (sigma-fields) , variables aleatorias (random variables) y esperanza condicional (conditional expectation) — para luego poder describir cómo la aleatoriedad evoluciona en el tiempo. No te preocupes si algunas de estas ideas te parecen abstractas; las iremos viendo una por una, y al final verás por qué la propiedad de la torre (tower property) de la esperanza condicional es uno de los atajos más útiles en todo el cálculo estocástico.

El panorama general#

Todo lo que haremos a partir de ahora se basa en un puñado de conceptos fundamentales de probabilidad. Necesitamos una forma precisa de hablar sobre “información” — lo que sabemos y cuándo lo sabemos. Las sigma-álgebras (sigma-fields) resultan ser la herramienta perfecta para eso. Una vez que las entendamos, podemos reconsiderar las variables aleatorias (random variables) como funciones que convierten resultados en números, y podemos definir la esperanza condicional (conditional expectation) no solo como un número único, sino como una variable aleatoria que depende de la información que tenemos. La propiedad de la torre (tower property) nos da entonces una regla clara para promediar en etapas, lo cual será esencial cuando estudiemos las martingalas (martingales) y las integrales de Itô (Ito integrals).

Sigma-álgebras y medibilidad#

Imagina que lanzas una moneda justa dos veces. Antes de lanzar, los cuatro resultados {HH, HT, TH, TT} son posibles. Después del primer lanzamiento, sabes si salió cara o cruz, pero aún no conoces el segundo resultado. Tu información ha cambiado: el conjunto de eventos que puedes decidir ha crecido. Las sigma-álgebras son el objeto matemático que captura exactamente qué eventos son «cognoscibles» en un momento dado.

Empezamos con un espacio muestral , el conjunto de todos los resultados posibles. Una sigma-álgebra (sigma-field) es una colección de subconjuntos de que satisface tres reglas:

• El espacio completo está en .
• Si un conjunto está en , su complemento también está en .
• Si es una secuencia numerable de conjuntos en , su unión está en .

Estas condiciones simplemente dicen que una sigma-álgebra es cerrada bajo las operaciones lógicas de «todo», «no» y «o numerable». Cualquier conjunto en la sigma-álgebra se llama un conjunto medible (measurable set) o evento.

Sigma-álgebra: Una familia de subconjuntos de que contiene , cerrada bajo complementos y uniones numerables.

La sigma-álgebra más simple es . Representa no saber nada excepto que algo ocurre. En el otro extremo, el conjunto potencia —la colección de todos los subconjuntos de — representa el conocimiento completo. Entre estos extremos se encuentran sigma-álgebras que capturan información parcial. En el ejemplo de los dos lanzamientos de moneda, después del primer lanzamiento podemos decidir eventos como «el primer lanzamiento es cara» , pero aún no podemos decidir eventos que dependen de ambos lanzamientos. La sigma-álgebra que corresponde a esta información contiene exactamente aquellos conjuntos que solo se preocupan por el primer lanzamiento.

Ahora supongamos que tenemos una medida de probabilidad sobre — una función que asigna un número entre y a cada evento, con y la propiedad de que la probabilidad de una unión de eventos disjuntos es la suma de sus probabilidades individuales (aditividad numerable). El triple es nuestro espacio de probabilidad (probability space). La sigma-álgebra nos dice qué preguntas podemos hacer; nos da las respuestas.

Una idea estrechamente relacionada es una sub-sigma-álgebra (sub-sigma-field) . Si contiene menos conjuntos que , representa información más gruesa. Pensar en las sigma-álgebras como conjuntos de información será de gran utilidad cuando definamos la esperanza condicional.

📝 Resumen de la sección: Una sigma-álgebra es una colección de eventos cerrada bajo las operaciones básicas de la lógica, y modela la información disponible en un experimento de probabilidad. Las sub-sigma-álgebras representan conocimiento parcial.

Variables Aleatorias y Distribuciones#

Una variable aleatoria (random variable) suele presentarse como algo que toma valores numéricos al azar. De manera más precisa, una variable aleatoria de valor real en un espacio de probabilidad es una función que es medible (measurable) con respecto a . Esto significa: para todo número real , el conjunto de resultados donde es un evento en . En símbolos,

La medibilidad (measurability) asegura que podemos asignar una probabilidad a todas las preguntas de la forma “¿cae en este intervalo?” porque esas preguntas corresponden a conjuntos en nuestra σ-álgebra (sigma-field). Sin esta condición, no podríamos hablar consistentemente sobre .

Variable aleatoria: Una función medible de un espacio de probabilidad a los números reales.

El comportamiento de una variable aleatoria se describe completamente por su distribución (distribution), que nos dice la probabilidad de que caiga en cualquier conjunto de Borel (Borel set) (un conjunto construido a partir de intervalos mediante operaciones contables). La función de distribución acumulativa (CDF) suele ser suficiente para determinar la distribución.

La esperanza (expectation) es el promedio ponderado por probabilidad de . Para una variable aleatoria simple que toma un número finito de valores, es una suma de valor por probabilidad. Para una variable aleatoria general, se define mediante una integral con respecto a : . Solo trabajaremos con variables aleatorias integrables (integrable), aquellas para las cuales ; esto garantiza que la esperanza exista y sea finita.

Dos variables aleatorias y pueden ser iguales en diferentes sentidos. Son casi seguramente (almost surely) iguales, escrito , si . Tienen la misma distribución si para todo . Ser iguales casi seguramente implica igualdad en distribución, pero no al revés — piensa en dos lanzamientos de moneda justa independientes, cada uno modelado por una variable aleatoria que es para cara y para cruz; tienen la misma distribución pero no son iguales en el mismo resultado.

¿Por qué insistimos en la medibilidad? Porque la σ-álgebra nos dice lo que es “conocible”. Si es -medible, entonces conocer el resultado verdadero determina . Si solo tenemos acceso a una σ-álgebra más pequeña , una -medible podría no ser -medible — podríamos no ser capaces de calcularla a partir de la información limitada en . La esperanza condicional (conditional expectation) nos permitirá más tarde formar una “mejor suposición” de usando solo la información en .

📝 Resumen de la Sección: Una variable aleatoria es una función medible del espacio muestral a los números; su distribución captura las probabilidades de sus valores. La medibilidad con respecto a una σ-álgebra asegura que todas las afirmaciones de probabilidad sobre la variable tengan sentido dentro de nuestro modelo.

La mayoría de los estudiantes se encuentran por primera vez con la esperanza condicional (conditional expectation) como un número: «¿cuál es el valor esperado de dado que ?» Esto funciona bien para variables discretas y continuas, pero no puede manejar las ricas estructuras de información que aparecen en los procesos estocásticos. Necesitamos una definición más general que condicione sobre un σ-álgebra (sigma-field) completo, no solo sobre un evento único.

Sea una variable aleatoria integrable en , y sea un sub-σ-álgebra de (es decir, ). La esperanza condicional de dado es una variable aleatoria, denotada por , que satisface dos propiedades:

1. Medibilidad (measurability) respecto a : es medible respecto al σ-álgebra más pequeño .
2. Promediación parcial (partial averaging): Para todo conjunto ,

En palabras sencillas: es la «mejor aproximación medible respecto a » de , en el sentido de que coincide con en todos los promedios tomados sobre eventos en . Si representa información más burda, entonces es lo que adivinaríamos para conociendo solo esa información.

Dos versiones cualesquiera de que satisfagan (1) y (2) son casi seguramente iguales, por lo que hablamos de «la» esperanza condicional.

Observa cómo esta definición generaliza el caso elemental. Si es el σ-álgebra generado por una variable aleatoria simple que toma un número finito de valores, entonces los eventos particionan . La condición de promediación parcial obliga a que sea constante en cada , y esa constante es igual a la elemental.

Esperanza condicional (dado ): Una variable aleatoria que utiliza solo la información contenida en y da la misma integral que sobre todo evento en .

Las propiedades clave se siguen directamente de la definición:

• Linealidad: casi seguramente.
• Monotonía: Si casi seguramente, entonces casi seguramente.
• Extraer lo conocido: Si es medible respecto a y está acotada, entonces casi seguramente. Como ya está determinada por la información en , se comporta como una constante dentro de la esperanza condicional.
• Independencia: Si es independiente de (todo evento en es independiente del comportamiento de ), entonces casi seguramente. La información parcial que no nos dice nada sobre no da una mejor estimación que el promedio global.
• Ley de la esperanza total (caso especial): Tomando en (2) se obtiene . El promedio de la estimación condicional es el promedio global.

Pensemos en un meteorólogo. Recibe un conjunto grande de información (imágenes de satélite, lecturas de presión, datos históricos). Necesita producir un pronóstico accesible para el público — ese pronóstico solo utiliza un conjunto de información más burdo (por ejemplo, si lloverá o no en cada región). El pronóstico es una variable aleatoria medible respecto a , y si es un pronóstico justo, a lo largo de muchos días con los mismos patrones de satélite, la cantidad de lluvia real promedio es igual al promedio del pronóstico. Eso es precisamente la condición (2).

📝 Resumen de la sección: La esperanza condicional dado un σ-álgebra es una variable aleatoria que refina un conjunto de información más burdo promediando los detalles que no se pueden conocer, mientras preserva los promedios sobre todos los eventos en ese conjunto.

La propiedad de la torre#

La propiedad computacional más potente de la esperanza condicional (conditional expectation) es la propiedad de la torre (tower property), también conocida como la ley de esperanzas iteradas, pero generalizada a sigma-álgebras (sigma-fields). Te indica cómo condicionar por etapas.

Supongamos que tenemos una secuencia anidada de sigma-álgebras:

es más gruesa que , que es más gruesa que la información completa . Entonces, para cualquier variable aleatoria (random variable) integrable ,

¿Por qué se llama la propiedad de la torre? Porque si apilas las esperanzas condicionales, las “internas” se colapsan: puedes promediar primero con respecto a y luego con respecto a , y obtienes el mismo resultado que si hubieras promediado directamente con respecto a .

Un caso especial ocurre cuando , la sigma-álgebra trivial. Entonces , el número ordinario. La propiedad se convierte en , que es la ley de la esperanza total (law of total expectation). Pero la propiedad de la torre es mucho más general porque puede ser cualquier sigma-álgebra más gruesa, no solo la trivial.

Aquí tienes una breve demostración. Sea . Para cualquier suceso (event) , como , entonces también está en . Por la definición de ,

Por la definición de ,

Ahora aplica la definición de : es la variable aleatoria -medible (measurable) que satisface para todo . Combinando las igualdades,

Tanto como son -medibles, y tienen la misma integral sobre todo . Por lo tanto son iguales casi seguramente. Esto demuestra la propiedad de la torre.

Ilustremos con un ejemplo concreto. Supón que primero lanzas un dado justo; llama al resultado . Luego, dado , lanzas una moneda justa veces y cuentas el número de caras . ¿Cuál es el número esperado de caras si solo conoces ? Eso es , donde es la sigma-álgebra generada por . Claramente , porque cada lanzamiento tiene probabilidad de cara. Ahora supón que quieres la esperanza incondicional . La propiedad de la torre con da . Como es uniforme en , , por lo tanto . Este promediado en dos pasos es mucho más simple que calcular toda la distribución de .

La propiedad de la torre se vuelve esencial cuando estudiamos martingalas (martingales) e integrales de Ito (Ito integrals). Nos dice que la esperanza condicional de una martingala sobre una sigma-álgebra más pequeña recupera su valor anterior, y justifica muchas simplificaciones de “condicionar luego integrar” en cálculo estocástico. Siempre que puedas descomponer una esperanza compleja en una cadena de esperanzas condicionales más simples, la propiedad de la torre es tu herramienta.

📝 Resumen de la sección: La propiedad de la torre te permite condicionar por pasos: la esperanza condicional de una esperanza condicional, dada una sigma-álgebra más gruesa, se colapsa a la esperanza condicional dada esa sigma-álgebra más gruesa. Es la forma general de la ley de la esperanza total y una piedra angular del análisis estocástico.

Resumen#

Empezamos con la idea de que una σ-álgebra (sigma-field) es una manera formal de describir qué información está disponible, y las variables aleatorias (random variables) son las cantidades medibles que observamos. Luego pasamos a la esperanza condicional (conditional expectation), que nos da una forma de obtener la mejor estimación de una variable aleatoria usando solo información parcial. La propiedad de la torre (tower property), que dice que condicionar por etapas se colapsa en un solo condicionamiento, es el pegamento que une todos estos conceptos. Estos fundamentos reaparecerán una y otra vez a medida que construyamos procesos estocásticos y, finalmente, integrales estocásticas — cada paso dependerá del lenguaje y las reglas que acabas de aprender.