Capítulo 2: Procesos estocásticos y filtraciones

Imagina que lanzas una moneda una y otra vez. Con cada lanzamiento, aprendes un poco más sobre lo que está sucediendo. Este capítulo convierte esa simple idea en matemáticas precisas: los procesos estocásticos (stochastic processes) modelan cómo se despliega la aleatoriedad a lo largo del tiempo, y las filtraciones (filtrations) registran lo que se sabe en cada paso. Estas ideas son el primer paso hacia las martingalas, el movimiento browniano y el cálculo estocástico.

El panorama general#

Un proceso estocástico no es más que una lista de variables aleatorias ordenadas en el tiempo. Lo complicado es: en cada instante, ¿qué sabe realmente un observador? De eso se encarga una filtración (filtration). Es una familia creciente de eventos que se vuelven medibles a medida que avanza el tiempo. Juntos, un proceso y una filtración nos permiten verificar si el proceso respeta el flujo temporal —es decir, si su futuro sigue siendo incierto con base en lo que sabemos ahora. Esa propiedad, llamada adaptabilidad (adaptedness), es el fundamento silencioso de todos los modelos dinámicos posteriores.

Sucesiones de variables aleatorias: ¿Qué es un proceso estocástico (stochastic process)?#

Ya sabes que una variable aleatoria es un número que depende del azar. Un proceso estocástico de tiempo discreto (discrete-time stochastic process) no es más que una lista de variables aleatorias ordenadas en el tiempo. Imagina una película: el fotograma 0 muestra un resultado aleatorio, el fotograma 1 otro, el fotograma 2 otro, y así sucesivamente.

Más formalmente, trabajamos sobre un espacio de probabilidad . es el conjunto de todos los resultados posibles. es una sigma-álgebra (sigma-algebra) —una colección de subconjuntos de que nos indica qué eventos podemos medir. asigna una probabilidad a cada evento. Un proceso estocástico de tiempo discreto es una familia

donde cada es una variable aleatoria: una función que es -medible. (A grandes rasgos, el conjunto de resultados donde cae en un intervalo es un evento en .) El índice representa el tiempo, normalmente . A menudo escribimos para abreviar.

Proceso estocástico de tiempo discreto: Una sucesión de variables aleatorias todas definidas sobre el mismo espacio de probabilidad e indexadas por pasos de tiempo enteros no negativos.

También puedes ver el proceso como una función de dos argumentos: . Fija el resultado para observar una trayectoria muestral (sample path) (los números reales que se despliegan), o fija el tiempo para ver la variable aleatoria en ese instante.

Ejemplo 1 – Lanzamientos repetidos de una moneda justa. Sea el conjunto de todas las sucesiones infinitas de caras y cruces. Define es un proceso estocástico. es el primer lanzamiento.

Ejemplo 2 – Camino aleatorio simétrico (Symmetric random walk). Empieza en . En cada paso sumas con probabilidad y con probabilidad , de manera independiente. Sean y , donde las son los pasos independientes. es un proceso estocástico. Su valor en el tiempo depende de los primeros pasos, no de ninguno futuro.

Siempre asumimos que todas las variables aleatorias viven en el mismo espacio de probabilidad, aunque no lo mencionemos explícitamente cada vez. Este espacio compartido es lo que nos permite plantear preguntas sobre cómo se relacionan las variables entre sí a lo largo del tiempo.

📝 Resumen de la sección: Un proceso estocástico de tiempo discreto es una lista ordenada en el tiempo de variables aleatorias sobre el mismo espacio de probabilidad. Captura la aleatoriedad que se despliega paso a paso.

Información a lo largo del tiempo: la idea de una filtración#

Observar un proceso es como leer un diario: solo sabes lo que se ha escrito hasta la página en la que te encuentras. Una filtración (filtration) precisa esta idea de que la información va aumentando.

Recuerda que una sigma-álgebra te indica qué eventos son medibles —qué preguntas puedes responder con una probabilidad. A medida que pasa el tiempo, aprendes más, así que el conjunto de preguntas que puedes responder crece.

Una filtración es una familia creciente de sigma-álgebras

todas dentro de la sigma-álgebra original del espacio de probabilidad. Escribimos y la llamamos filtración en tiempo discreto.

Filtración: Una secuencia anidada de sigma-álgebras donde cada representa la información conocida en el tiempo .

Intuitivamente, un evento está en si, para el tiempo , puedes afirmar con certeza si el resultado verdadero está en o no. A medida que crece, se vuelve más fina —puedes responder más preguntas.

Ejemplo – tiros de moneda de nuevo. Supón que observas los primeros lanzamientos de una moneda justa. Antes de cualquier lanzamiento (), no sabes nada: los únicos eventos que puedes reconocer son el conjunto vacío y el espacio total . Así que (la sigma-álgebra trivial). Después del primer lanzamiento, sabes si fue cara o cruz, entonces contiene todos los eventos que dependen solo del primer lanzamiento —como «el primer lanzamiento es cara». Después de dos lanzamientos, contiene eventos que dependen de los dos primeros lanzamientos, como «ambos primeros lanzamientos son cara», y así sucesivamente. Claramente , dando una filtración.

En general, una filtración puede ser cualquier familia creciente de sigma-álgebras; no tiene que provenir de un proceso específico. Pero en la práctica, casi siempre la construimos a partir del proceso que estamos estudiando.

📝 Resumen de la sección: Una filtración es una secuencia expansiva de sigma-álgebras que captura el crecimiento de la información medible a medida que avanza el tiempo. Cada te dice qué eventos puedes ya verificar con certeza en el paso .

La filtración generada por un proceso#

La forma más natural de construir una filtración (filtration) es dejar que el propio proceso defina lo que se conoce. Esto se denomina la filtración natural (natural filtration) del proceso.

Dado un proceso estocástico , definimos

como la σ-álgebra (sigma-algebra) más pequeña que hace medibles a todas las variables aleatorias . En palabras sencillas, contiene exactamente aquellos eventos que se pueden describir usando hasta —por ejemplo, “ y ” o “el máximo de supera ”.

Filtración natural (o filtración generada por ): La familia donde es la σ-álgebra más pequeña que hace medibles a todas . Representa exactamente la información que obtienes al observar hasta el tiempo .

Como no está incluido en , los valores futuros siguen siendo genuinamente aleatorios desde la perspectiva del tiempo . Esto es clave: la filtración natural captura la idea de que no miras el precio de mañana al decidir hoy.

Ejemplo – filtración natural de un paseo aleatorio. Recuerda el paseo aleatorio simétrico con . En el tiempo , has observado , que es lo mismo que conocer los primeros pasos . Por lo tanto, es exactamente . El evento no está en porque depende del desconocido .

A menudo omitimos el superíndice y simplemente escribimos cuando el proceso está claro. La filtración natural es la filtración más pequeña que hace que sea adaptado (adapted) —nuestro próximo tema.

📝 Resumen de la sección: La filtración generada por un proceso es la mínima que contiene toda la información hasta cada tiempo proveniente del propio proceso. Mantiene los valores futuros fuera del conjunto de información actual.

Adaptabilidad (adaptedness): procesos que respetan el flujo de información#

Un proceso y una filtración están hechos para funcionar juntos. La propiedad que lo hace posible es la adaptabilidad (adaptedness).

Un proceso estocástico es adaptado (adapted) a una filtración si, para cada , la variable aleatoria es -medible.

Proceso adaptado: Un proceso está adaptado a la filtración si, en cada instante , el valor está completamente determinado por la información en . En lenguaje matemático, es -medible.

¿Qué significa ser -medible? Significa que cualquier evento como (donde es un intervalo, por ejemplo) pertenece a . Así que, para el tiempo , se puede comprobar definitivamente si cae en porque ese evento ya es parte de tu información . Si no fuera -medible, necesitarías información futura para conocer su valor, lo que rompe la idea de un desarrollo en tiempo real, de causa y efecto.

Todo proceso es automáticamente adaptado a su propia filtración natural: por construcción, contiene todos los eventos que puede generar, así que es claramente -medible. Por lo tanto, la filtración natural es la opción por defecto para un proceso dado. Pero a veces trabajamos con una filtración más grande —por ejemplo, una que también incluye aleatoriedad externa u otro proceso— y entonces exigimos que sea adaptado a esa filtración más grande, lo que significa que no debe usar ninguna información de esa fuente externa antes de tiempo.

Ejemplo – adaptado vs. no adaptado. Sea la filtración natural de un proceso de lanzamiento de moneda . Define un nuevo proceso . ¿Está adaptado a ? En el tiempo , es igual al -ésimo lanzamiento de moneda, aún desconocido. Eso no es -medible —depende del siguiente lanzamiento, que está en el futuro respecto a . Por lo tanto, no está adaptado a . En finanzas, esto sería como una estrategia de trading que usa el precio de la acción de mañana para decidir la operación de hoy —imposible en un mercado justo.

La adaptabilidad puede parecer un pequeño detalle técnico, pero es la guardiana de casi todos los resultados importantes que vienen después. Para que un proceso sea una martingala, debe ser adaptado; para que una integral estocástica tenga sentido, el integrando debe ser adaptado. En resumen, la adaptabilidad asegura que se respete la línea temporal.

Piensa en una cámara de seguridad grabando un edificio. El metraje hasta la hora es . Tu descripción de lo que está sucediendo en la hora debe basarse solo en el metraje que ya tienes —no en lo que se grabará después. Eso es la adaptabilidad.

📝 Resumen de la sección: Un proceso está adaptado a una filtración si, en cada momento, su valor actual depende solo de la información ya disponible —sin mirar al futuro. Cualquier proceso está automáticamente adaptado a su propia filtración natural.

Resumen#

Hemos dado el primer paso desde la probabilidad estática hacia el mundo dinámico donde la aleatoriedad cambia con el tiempo. Un proceso estocástico (stochastic process) es una lista ordenada temporalmente de variables aleatorias. Las filtraciones (filtrations) rastrean lo que sabemos a medida que pasa el tiempo. La filtración natural (natural filtration), construida a partir del proceso, lo hace adaptado (adapted). La adaptabilidad (adaptedness) significa no asomarse al futuro: cada valor depende únicamente de la información pasada y presente.